ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

1.1 Локальные экстремумы функции

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

2. Исследование функций

2.1 Достаточные условия экстремума функции

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

2.3 Асимптоты графика функции

2.4 Общая схема построения графика функции

Литература

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1 Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 – внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х0).

Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х0).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума.

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.

Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1 – 1 делится на р).

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f (х) ³ f (х0), œх Î U(х0). Тогда в силу дифференцируемости

f (х) в точке х0 получим:

при х > х0:

при х < х0:

Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0, f (х0)), параллельна оси Ох:

Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.

Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).

В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0).

 

 

Пример 2. у = х3, х Î [–1; 1].

В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. ............