Интегральные преобразования Операционное исчисление и некоторые его приложения
    Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
    1)
    2) Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
    3) Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0?0 такие, что выполняется условие : |f(t)|S0 имеем :
    
    Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
    Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :
    (3)
    Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
    f(t) ? F(p), где F(p) - изображение функции f(t) по Лапласу.
    - это оператор Лапласа.
    Смысл введения интегральных преобразований.
    Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
    Теорема единственности: если две функции ?? t???и???t? имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
    Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.
    Изображение функций ?0(t), sin (t), cos (t).
    Определение: называется единичной функцией.
    Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
    
    Изображение единичной функции
    Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
    
    интегрируя по частям получим :
    т.е.
    Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :
    Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
    где а - константа.
    Таким образом :
    и
    
    Свойства линейности изображения.
    Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
    
    Если , то , где
    Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(?+p) является изображением функции e-?t f(t) (4)
    Доказательство :
    Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
    
    Что и требовалось доказать.
    
    Таблица основных изображений: F(p) f(t) F(p) f(p) 1
    
    Изображение производных.
    Теорема. Если , то справедливо выражение :
    (1)
    Доказательство :
    
    
    (2)
    (3)
    Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
    
    Что и требовалось доказать. ............