Интегралы
Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.
Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в любой точке этого промежутка .
Теорема. Если и – первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство
= + .
Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом,
= + .
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть
.
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть
,
где – произвольное число.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть
.
Метод замены переменной
,
где – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Метод интегрирования по частям
,
где и – дифференцируемые функции.
Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида
и ,
причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Рациональную функцию можно разложить в сумму простейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени от выражения стоящего в знаменателе.
Для интегралов вида делают замену , а для интегралов в общем случае используются подстановки Эйлера.
При интегрировании тригонометрических выражений в общем случае используется замена переменной , где .
Талица основных интегралов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок наэлементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида
(1)
будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .
Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . ............
