Академия

Кафедра Физики

Реферат

Фильтры нижних частот

Орёл 2009

Содержание

 

Вступление

1. Полиномиальные ФНЧ с максимально плоскими характеристиками затухания (фильтры Баттерворта)

2. Полиномиальные ФНЧ с равно волновыми характеристиками затухания (фильтры Чебышева)

3. ФНЧ со всплесками затухания (фильтры Золотарёва)

Заключение

Литература

Вступление

 

В простейшем и наиболее часто используемом варианте фильтр включается между резистивными нагрузками (рисунок 1.).

Рисунок 1.

Как уже отмечалось, для формирования требования к фильтру используется рабочее затухание

где

 

есть нормированная (рабочая) АЧХ фильтра. Кроме нормированной АЧХ для удобства расчётов может использоваться нормирование и других величин:

- нормированная частота;

- нормированное операторное сопротивление;

- нормированная индуктивность;

- нормированная ёмкость;

- нормированное резистивное сопротивление;

- нормированный оператор Лапласа.

Здесь ω0, f0, R0 являются нормирующими величинами.

Если в результате решения задачи найдены нормированные величины, то денормирование производится по формулам:

; ; ; ;

Графики АЧХ и затухания идеальных ФНЧ показаны на рисунке 2.

Рисунок 2.

Именно эти зависимости являются исходными при аппроксимации.

1. Полиномиальные ФНЧ с максимально плоскими характеристиками затухания (Баттерворта)

 

Полиномиальными называются ФНЧ, у которых ОПФ имеет вид:

 (1)

Не трудно показать, что нормированная АЧХ полиномиального фильтра определяется следующим выражением:

 (2)

Осуществим аппроксимацию по Тейлору АЧХ фильтра нижних частот.

При этом потребуем, чтобы в точке =0, функция  была равна единице, а все её │n-1│ первых производных обращались бы в нуль. В этом случае АЧХ синтезируемого фильтра будет максимально плоской.

Решение аппроксимации даёт следующий результат:

An=1; A1=A2=...=An-1=0; A0>0,

то есть любое вещественное положительное число (в противном случае нарушается УФР).

Следовательно, а() = 10lg  (дБ).

Чрезвычайно удобно положить А0=(100,1Δа–1), где Δа - допустимая неравномерность затухания в полосе пропускания.

Так, при Δа = 3дБ получается100,1*3=100,3=2, следовательно А0=1 и формула приобретает вид:

a() = 10lg(1+2n)

нормирующая частота ω0 в таком случае выбирается из условия:

а = Δа=3дБ.

Эту частоту принято называть граничной частотой ПП фильтра. На рисунке 3 приведено семейство АЧХ  для разных значений n.

Рисунок 3.

Из него следует, что чем выше n, тем точнее аппроксимируется характеристика идеального фильтра.

Затухание рассматриваемых фильтров:

а = 10lg(1+2n)

в полосе задерживания, где >>1 приближенно равно а20nlg и возрастает со скоростью 6n дБ/октаву.(Октава – удвоение частоты).

Если заданы требования к ФНЧ, то выбор порядка фильтра при Δа = 3дБ осуществляется из условия, которое следует из графика на рисунке 4.

Рисунок 4.

В случае, когда Δа3дБ и а010дБ, порядок фильтра может быть подсчитан по формуле:

 (3)

Нормированная операторная передаточная функция находится для выражения:

Полиномы , образующие определённый подкласс полиномов Гурвица, получили название полиномов Баттерворта по имени автора, предложившего максимально плоскую аппроксимацию АЧХ фильтров. ............