Дуальные числа. 1. Определение дуальных чисел.
    Алгебра дуальных чисел образуется удвоением по Кэли алгебры действительных чисел:
    Q = D1 + E * D2
    С мнимой единицей удвоения E2=0. Дуальное число есть пара действительных чисел, которые называют его компонентами. Обычно дуальную мнимую единицу обозначают буквой ?. Тогда дуальное число может быть представлено:
    В такой записи дуального числа q его компоненты q0 и q1 называются действительной (или главной) и дуальной (или мнимой) частями соответственно. Таблица произведений единиц базиса дуальных чисел имеет вид: 1 ? 1 1 ? ? ? 0 Дуальные числа q и p считаются равными, если равны их компоненты:
    Дуальное число p равно нулю в случае, если p0=0 и p1=0.
    Как и для других гиперкомплексных чисел, операции сложения и вычитания для дуальных чисел определяются покомпонентно:
    Мнимую часть дуального числа также иногда называют моментной частью, а отношение мнимой части к действительной называют параметром:
    , или
    если 2. Свойства дуальных чисел.
    В силу определения мнимой единицы ?? = 0 для умножения дуальных чисел получаем формулу:
    Для деления p/q при q0 ? 0 получим:
    
    Для возведения дуального числа в степень справедлива формула:
    
    Для извлечения корня степени n из дуального числа p справедлива формула:
    В случае же p0 = 0 операция извлечения корня не определена.
    Для параметра дуального числа справедливы два интересных соотношения:
    Параметр произведения дуальных чисел равен сумме параметров сомножителей:
    Параметр частного двух дуальных чисел равен разности параметров делимого и делителя:
    Так как для числа p где параметр равен бесконечности и, поскольку действительная часть произведения равна произведению действительных частей, действительную часть дуального числа принято называть модулем дуального числа:
    При таком выборе определения модуля для дуального числа сохраняется его основное свойство мультипликативности:
     Функция и дифференциал функции.
    Будем следовать классическому определению функции как закону отображения области определения в область значений. В случае, если областью определения и областью значений является область дуальных чисел, функцию можно представить покомпонентно:
    где f1 и f2 - две вещественные функции двух аргументов.
    К основному соотношению в функциональном анализе гиперкомплексных чисел относят аналог уравнений Эйлера. Мы также присоединяюсь к этому мнению в силу чрезвычайной важности этого соотношения:
    
    и для случая дуальных чисел имеем:
    
    В частности,
    
    Для элементарных функций дуального аргумента справедливы соотношения:
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Для дифференциала функции дуального аргумента также используем класическое определение дифференциала как разность значений функции до и после приращения аргумента:
     Аналог уравнений Коши-Римана.
    В теории функций комплексного переменного особую важность имеют аналитические функции, для которых предел отношения приращения функции к приращению аргумента не зависит от отношения мнимой и действительной частей приращения аргумента. ............