КУРСОВА РОБОТА
з дисципліни
„Вища математика”
за темою
Числа «е» та «пі»
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ І ОСОБЛИВІ ЧИСЛА МАТЕМАТИКИ „π.” ТА „е”
1.1 Сутність та історична поява чисел „π.” та „е”
1.2 Визначення понять ірраціональності та трансцендентності чисел
1.3 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „π”
1.4 Доведення ірраціональності та трансцендентності числа „е”
РОЗДІЛ ІІ НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „π”
2.1 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою числових рядів
2.2 Методи наближеного обчислення числа „π” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби
РОЗДІЛ ІІІ НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА „е”
3.1 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою числових рядів
3.2 Методи наближеного обчислення числа „е” за допомогою розкладу в нескінченні ланцюгові дроби
ВИСНОВКИ
СПИСОК ВИСКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
ВСТУП
Сучасна математика в багатьох задачах оперує підмножиною дійсних чисел, що складається з підмножин раціональних і ірраціональних чисел, тобто з чисел які можна представити у вигляді кінцевого алгебраїчного дробу й чисел, та які не можна представити у вигляді кінцевого алгебраїчного дробу. Особливою підмножиною ірраціональних чисел є трансцендентні числа такі числа, які не є коренем ніякого багаточлена із цілими коефіцієнтами.
Існування і явні побудови дійсних трансцендентних чисел обґрунтував французький учений Ж.Ліувілль на основі заміченого їм факту: ірраціональні алгебраїчні числа не допускають «дуже сильних» наближень раціональними числами. Французький учений Е.Борель встановив, що «майже всі» ірраціональні числа трансцендентні.
Усім, хто вперше стикнувся з математикою в школі, відомо про 2 особливих числа:
π – число, рівне відношенню довжини окружності до її діаметра;
та е – основу натуральних логарифмів.
Зазначені числа входять у множину формул математики, фізики, хімії, біології, а також економіки. Це свідчить про те, що вони відбивають деякі самі загальні закони природи.
Хоча ще з кінця 16 в., тобто з тих пор, як сформувалися самі поняття раціональних і ірраціональних чисел, багато вчених були переконані в тім, що p число ірраціональне, але тільки в 1766 німецький математик Іоганн Генріх Ламберт (17281777), ґрунтуючись на відкритій Ойлером залежності між експонентною й тригонометричною функціями, строго довів це – „Число p не може бути представлене у вигляді простого дробу, як не були б великі чисельник і знаменник”.
Також, хоча ще в середині 18 століття виникла гіпотеза про трансцендентність чисел і інших, доказ цього довго не вдавалося одержати. Трансцендентність числа е довів французький учений Ш.Ерміт в 1873 році, а у 1882 році професор Мюнхенського університету Карл Луіз Фердінанд Ліндеман (1852–1939) використовуючи результати, отримані французьким математиком Ш.Ермітом, довів, що p – число трансцендентне, тобто воно не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння anxn + an–1xn–1+ … + a1x + a0 = 0 с цілими коефіцієнтами. Цей доказ поставив крапку в історії найдавнішої математичної задачі „про квадратуру кола”. Тисячоріччя ця задача не піддавалася зусиллям математиків, вираження «квадратура кола» стало синонімом нерозв'язної проблеми. ............
