МГТУ им Н.Э.Баумана гр. ФН2-41 Котов В.Э. Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла. (по материалам лекций Толмачева В.В.) Постановка задачи Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и магнитной проницаемостью и соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2) , необходимо выяснить соотношения между углами и , а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
    рис.1 Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений Максвелла : и (1) (учитывая , что среда диэлектрическая , т.е. ) для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):
    и (==0) (2) где A и B , и , - постоянные (не зависят от времени и координаты) ,
    и - характеристики среды , в которой распространяется волна ,
    , t - рассматриваемый момент времени
    x - рассматриваемая координата на оси Х
    
    V - скорость распространения волны в данной среде (естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением )
    Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела : и не терпят разрыва на поверхности раздела , и также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:
    (3) (индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)
    Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1) , удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая : случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн. Случай ТМ -волны (p - волны)
    рис.2 Из рисунка видео , что , запишем условия равенства на границе раздела :
    ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн) подставляем значения: подставляем из (2) :
     Аналогично , поскольку получаем для вектора на границе раздела: ( c учетом (2) ) для выполнения равенств для и потребуем равенства аргументов косинусов : потребуем также равенства начальных фаз: из рисунка видно , что : , (4) (,и - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем : из равенства аргументов получаем : (т.к. , ) т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света разделим теперь выражения дляи на , получим (c учетом (4) ) следующую систему :
    (5) здесь неизвестными являются и , а - заданно. Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе , тогда члены с сократятся и получим: поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать , тогда: . ( разделим числитель и знаменатель на , и учтя , что ) применив закон преломления , получим (6): из второго уравнения системы (5) получаем для :
    (поскольку полагаем ,) , тогда:
    (7) проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли - и . ............