Спектри і спектральний аналіз

1. Спектри: визначення і класифікація

Відповідно формули ряду Фур'є маємо:

 (1)

Тут  – основна частота. Як бачимо, складна періодична функція  цілком визначається сукупністю величин  і . Сукупність величин  зветься спектром амплітуд. Сукупність величин  називається відповідно спектром фаз. Для багатьох застосувань досить знати спектр амплітуд; він застосовується настільки часто, що коли говорять про спектр, то мається на увазі саме амплітудний спектр. В інших випадках роблять відповідні застереження. Ми робитимемо так само.

Спектр періодичної функції можна зобразити графічно. Виберемо для цього координати  і .

Спектр буде зображений у цій системі координат сукупністю дискретних точок, оскільки кожному значенню  відповідає одне визначене . Графік, що складається з окремих точок, незручний. Тому прийнято зображати амплітуди окремих гармонік вертикальними відрізками відповідної довжини.

У результаті спектр періодичної функції приймає вигляд, показаний на рис. 1. Це – дискретний спектр; його називають також лінійчастим, запозичивши цей термін з оптики.

Друга властивість спектра, зображеного на рис.1, полягає в тому, що спектр – гармонійний. Це означає, що він складається з рівновіддалених спектральних ліній; частоти гармонік знаходяться в простих кратних співвідношеннях. Зазвичай окремі гармоніки, іноді навіть перша, можуть бути відсутніми, тобто амплітуди їх можуть дорівнювати нулю; це, однак, не порушує гармонійності спектра.

Не слід вважати, що тільки періодична функція має дискретний спектр. Припустимо, наприклад, що складне коливання є результатом додавання двох синусоїдальних коливань з непорівнянними частотами, скажімо,  та . Це коливання свідомо неперіодичне, однак спектр його дискретний і складається з двох спектральних ліній.

Функція, що володіє дискретним спектром з довільно розташованими за частотою спектральними лініями, називається майже періодичною.

Отже, дискретні чи лінійчасті спектри можуть належати як до періодичних, так і до неперіодичних функцій. У першому випадку лінійчастий спектр обов'язково гармонійний.

Велике практичне значення має окремий випадок майже періодичної функції, що подається розкладанням виду

 ,

де  приймає як позитивні, так і негативні значення. Спектр, що відповідає цьому розкладанню, характеризується тим, що лінії його еквідистантні; тому ми називатимемо такого роду лінійчастий спектр квазігармонійним. Такі, наприклад, спектри періодичних модульованих коливань;  у цьому випадку є не що інше, як несуча частота.

Звернемося тепер до спектрів неперіодичних функцій. Ми вже знаємо, що в результаті граничного переходу від ряду до інтеграла Фур'є інтервали між окремими лініями необмежено скорочуються, лінії зливаються, і замість дискретних точок спектр має зображуватися безперервною послідовністю точок, тобто безперервною кривою. Такого роду спектр називається суцільним. На рис. 2 наведений приклад спектрального розкладання ЕЕГ.

Проте тут потрібно ввести одне уточнення. Ми писали формулу для інтеграла Фур'є у вигляді

 (2)

Підінтегральна функція виражає окремий нескінченно малий доданок, тобто коливання з нескінченно малою амплітудою :

 ,

 .

Таким чином, величина  виражає не безпосередньо амплітуду, а так звану спектральну щільність. ............