КУРСОВАЯ работа
Расчет напряжений деформаций в изотропном теле по заданному тензору напряжений
1. Исходные данные
1. Задан следующий тензор напряжений:
МПа.
2. Направляющие косинусы площадки, по которой нужно вычислить напряжения, равны:
.
1.1 Определение инвариантов напряженного состояния Инвариантом называется величина, независящая от системы координат. В частности, напряженное состояние в любой точке является инвариантом, несмотря на то, что составляющие тензора в разных системах координат, т.е. напряжения, действующие по координатным площадкам, различны. Однако, имеются выражения, составленные из напряжений по координатным площадкам, которые остаются постоянными в любой системе координат. Эти выражения и называются инвариантами напряженного состояния в точке или инвариантами тензора напряжений.
(1)
1.2 Определение главных напряжений
Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.
Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:
(2)
Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из(1), получаем:
Кубические уравнения общего вида могут иметь комплексные корни, уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.
1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.
2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.
Воспользуемся вторым способом.
Пусть задано кубическое уравнения:
(3)
После подстановки
(4)
получим кубичное уравнение (приведенное):
(5)
Здесь и вычисляются по формулам:
(6)
Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:
(7)
(8)
Далее с помощью подстановки(4) в (3) находим корни исходного уравнения.
Решим наше уравнение (2):
(9)
Подстановка (4) с новыми обозначениями получает вид:
. (10)
Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что.
Подставляя (10) в (9) получим уравнение аналогичное (5):
(11)
Здесь коэффициенты и вычисляются по формулам (6):
Далее по формулам (7) находим:
По формулам (8) находим корни уравнения (5):
Учитывая (10), находим корни исходного уравнения (9), являющимися главными напряжениями:
(12)
В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: - алгебраически максимальное напряжение; - алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; - алгебраически минимальное напряжение.
Величины и вычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых от зависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.
Тензор напряжений в главных осях имеет вид:
.
1.3 Определение положения главных осей тензора напряжений Положение главных осей тензора напряжений определяется матрицей направляющих косинусов:
(13)
Здесь первая строка матрицы представляет направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; вторая строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; третья строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение . ............
