В.КИНЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА § 6. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
    
    Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают рассеяние на примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы - нас интересуют такие ситуации, в которых электрон ускоряется полем, но при рассеянии теряет избыточные энергию и импульс. В этой главе мы рассмотрим "обычные" кинетические свойства, наблюдаемые при наложении постоянных полей.
    Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом уравнении, или уравнении Болъцмана. Мы рассматриваем функцию fk(r) - локальную концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки r. Строго говоря, эту величину можно определить только в терминах мелкозернистых распределений, средних по ансамблю, матриц плотности и т. д. Имеется обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.
    Посмотрим теперь, какими способами функция fk(r) может изменяться во времени. Возможны процессы трех типов:
    1. Носители заряда приходят в область пространства вблизи точки r и уходят из нее. Пусть vk - скорость носителя в состоянии k. Тогда в течение интервала времени t носители заряда в этом состоянии пройдут путь tvk. Следовательно, на основании теоремы Лиувилля об инвариантности фазового объема системы число носителей в окрестности точки r в момент времени t равно числу их в окрестности точки r - tvk в момент времени 0:
    
    fk(r, t) = fk(r - tvk, 0). (35)
     Это означает, что скорость изменения функции распределения из-за диффузии есть
    ?fk/?t]diff = - vk??fk/?r = - vk??fk. (36)
    
    2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя, согласно равенству
    
    (37)
    
    Величину можно рассматривать как "скорость" носителя заряда в k-пространстве, так что по аналогии с равенством (35) имеем
    (38)
    
    следовательно, под действием полей функция распределения меняется со скоростью
    
    (39)
    
    (мы использовали здесь обозначение ?fk/?k для градиента в k-пространстве - оператора ?k).
    3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся здесь в основном упругим рассеянием. При этом функция fk меняется со скоростью
    
    ?fk/?t]scatt = ?{ fk' (1 - fk) - fk (l - fk')}Q(k, k') dk'. (40)
    
    Процесс рассеяния из состояния k в состояние k' приводит к уменьшению fk. Вероятность этого процесса зависит от величины fk - числа носителей в состоянии k, и от разности (1 - fk') - числа свободных мест в конечном состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет к увеличению функции fk; он пропорционален величине fk'(1 - fk). Очевидно, надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений k и k' существует, однако, "собственная" вероятность перехода Q (k, k'), равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а состояние k' вакантно. ............