Нелинейные многоволновые взаимодействия в упругих системах

На основе закона сохранения энергии предлагается физическая интерпретация свойств решений эволюционных уравнений, описывающих амплитудно-фазовую модуляцию нелинейных волн. Приводится алгоритм приведения дифференциальных уравнений, описывающих нелинейные многоволновые процессы в распределенных механических системах, к нормальной форме. Изучаются вопросы возникновения резонанса.

Solutions to the evolution equations describing the phase and amplitude modulation of nonlinear waves are physically interpreted basing on the law of energy conservation. An algorithm reducing the governing nonlinear partial differential equations to their normal form is proposed. The occurrence of resonance at the expense of nonlinear multi-wave coupling is discussed.

Введение

Принципы нелинейных многоволновых взаимодействий были впервые признаны примерно два века назад, благодаря экспериментальным и теоретическим работам Фарадея (1831), Мельде (1859), Релея (1883, 1887). Неплохой исторический обзор этой темы может быть найден в работе [1], так что необходимы лишь только несколько вводных замечаний. До первой мировой войны подобные идеи воплощались в радиотелефонных устройствах. После второй мировой войны появилось множество новых приложений в технике и технологиях, включая высокочастотную электронику, нелинейную оптику, океанологию, физику плазмы и т.д. Сегодня теория нелинейных многоволновых взаимодействий, применительно к механическим системам, развита не в той степени, чтобы найти уже сейчас свое достойное применение на практике.

В работе представлена попытка объединения и обобщения тематической информации на основе уже достаточно известных, но разрозненных фактов. На основе закона сохранения энергии предлагается физическая интерпретация свойств решений эволюционных уравнений, описываюцих амплитудно-фазовую модуляцию нелинейных волн. Приводится алгоритм приведения дифференциальных уравнений, описывающих нелинейные многоволновые процессы в распределенных механических системах, к нормальной форме. Изучаются вопросы возникновения резонанса в нелинейных многоволновых системах.

Эволюционные уравнения

Распространение слабонелинейных волн в упругих средах обычно описывается квазилинейными дифференциальными уравнениями с частными производными

,

где  и  - линейные дифференциальные матричные операторы, характеризующие инерционные и упругие свойства системы, т.е. ;  - вектор нелинейных величин;  - малый параметр задачи, характеризующий меру нелинейности[1]. В любой момент времени  искомые переменные системы  относятся к пространственным координатам .

Пусть закон движения системы определяется функцией Лагранжа . Пусть при  существует вырожденный лагранжиан , производящий линеаризованные уравнения движения. Пусть решение последних “порождающих” уравнений представляется суперпозицией нормальных гармонических волн:

.

Здесь  - комплексные амплитуды волн[2];  - быстро вращающиеся волновые фазы; символ  обозначает комплексно сопряженные слагаемые. Собственные частоты  и соответствующие волновые векторы  связаны дисперсионным соотношением .

При малых значениях  решение нелинейных уравнений можно формально представить в той же самой форме, что и в линейном случае, если не считать малых пространственно-временных вариаций амплитуд волн . ............