Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду Выполнил: ученик 11 Б класса Назаркин Павел Дмитриевич Муниципальное общеобразовательное учреждение "Лицей №43" Саранск, 2004
    Постановка задачи.
    Произвести необходимые расчеты для нахождения минимальной скорости тела, брошенного через прямоугольное препятствие.
    Методы выполнения работы.
    Для выполнения данной работы проделаем ряд математических вычислений и преобразований с использованием физических формул.
    Зная, что траекторией движения тела, является парабола, а также математическую формулу записи данной линии, будем использовать уравнение параболы общего вида в качестве начальных данных поставленной задачи. В выбранной нами прямоугольной системе координат запишем данное уравнение для двух точек, принадлежащих линии движения - начальной точке А и точке В, в которой тело окажется через некоторый промежуток времени t. Решая систему полученных при этом уравнений, путем математических замен и преобразований выведем формулу зависимости движения тела от одной переменной L, т.е. коэффициенты k и b, участвующие в общем виде уравнения параболы, выразим через L. Затем, используя физический закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, выразим переменную L через и V . В результате получим уравнение движения, в качестве коэффициентов в котором будут выступать переменные и V. Затем составим систему двух уравнений, полученных подстановкой координат точек А и В в последнее уравнение движения. Решая данную систему, мы найдем неизвестные нам величины и V, выразив их через имеющиеся известные нам параметры - ширину и высоту прямоугольного препятствия. Для нахождения Vmin воспользуемся производной функции.
    Решение.
    
    Уравнением линии движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие, в общем виде является уравнение параболы :
    y=-kx2+b
    Введем прямоугольную систему координат и свяжем ее с прямоугольным препятствием, как показано на рисунке.
    В данной системе координат уравнение движения тела в точках А и Б примет вид:
    0=-k(a+L)2+b,
    h=-ka2+b.
    Выразим k и b через одну неизвестную L:
    Вычитаем 1)-ое из 2)-ого:
    h=k(a2+2aL+L2-a2),
    h=k(2aL+L2) , (*);
    h=b-ka2+b b=h+ka2 . (*)
    Получилось, что уравнение движения зависит только от L:
    y=-kx2+b, где коэффициенты k и b имеют вид (*).
    Найдем зависимость L оти V.
    Из курса физики известно: что движение тела, брошенного под углом горизонта описывается уравнениями
    x=Vxt L=Vxt L=Vcost
    y=Vyt+gt2/2 h=Vyt-gy t2/2 gt2-2Vyt+2h=0.
    gt2-2Vyt+2h=0.
    .
    Мы рассматриваем время движения от точки А до Б, значит
    , где Vy=Vsin.
    Итак,
    Умножив обе части уравнения на g, получим:
    (1)
    Известно, что т.е.
    (2)
    С другой стороны tg=y' в точке А, т.е. tg=y'(-a-L);
    
    Подставив значение tg в (2), получим:
    V2sin2=g(a+L) tg
    V2sincos=g(a+L) Lg=V2sincos-ga (3)
    Сравнив (1) и (3) получаем, что:
    
    .
    Получили уравнение с двумя неизвестными V и: выразив V через , мы получим ту самую функцию, которую мы должны были найти:
    Пусть z=V2, тогда z cos2(z sin2-2gh)=g2a2;
    z2 cos2 sin2- z cos22gh-g2a2=0;
    Получили квадратное уравнение относительно z
    
    Очевидно, значит, т.к. ............