Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.
п.1. Понятие кольца.
Определение. Алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция, называется кольцом, если выполнены аксиомы.
I. - абелева группа.
1)
2)
3)
4)
II. 1) - ассоциативность умножения.
2) законы дистрибутивности: - левый дистрибутивный закон, - правый дистрибутивный закон.
- называется аддитивной группой кольца.
Определение. Кольцо называется кольцом с единицей , если существует
Определение. Кольцо называется коммутативным, если
Определение. Элементы называются делителями , если
Определение. Кольцо называется областью целостности, если оно обладает свойствами:
Кольцо - коммутативно.
Кольцо с единицей , где .
Кольцо не имеет делителей нуля.
п.2. Примеры колец.
Рассмотрим . Операции - бинарная операция на множестве , операция - унарная операция на множестве , , значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как и . Это коммутативное кольцо, так как . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.
Пусть - множество целых чётных чисел, - алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.
- проверим, будет ли на множестве - кольцо.
- бинарная операция на множестве .
- бинарная операция на множестве .
- унарная операция на множестве .
Значит - алгебра.
Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как , а на аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо.
. . Кольцо с единицей - это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.
Пусть . Определим операции , ; , .
- бинарные операции на множестве
значит - унарная операция на множестве .
, , значит - алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство - равенство функции: из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от а) б) . Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит является кольцом. Это кольцо с единицей . Действительно, (свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как . Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть , , , (нулевая функция). Вычислим (равно нулевой функции). Значит , - делители нуля, значит кольцо - не является областью целостности.
п.3. Простейшие свойства кольца.
Пусть - кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:
.
Доказательство. - абелева группа, имеем
.
Доказательство. ............