ИССЛЕДОВАНИЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА Основные теоретические положения
    Из теории оптимальных методов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типа белого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида
    где N0 - односторонняя спектральная плотность шума ; Т - длительность сигнала; u(t) - принятый сигнал; s(t) - полезный сигнал;
    Интеграл (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции принятого сигнала u(t) и полезного сигнала s(t) сигналов. Чтобы осуществить реализацию выражения (1), используют корреляционный приемник. С другой стороны, интеграл (1) можно рассматривать как свертку сигнала u(t) с импульсной характеристикой некоторого фильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.
    Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи.
    Пусть принятый сигнал имеет вид
    
    где s(t) - полезный сигнал известной формы со спектральной плотностью Fs(j?); n(t)стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности Fn(?).
    Будем отыскивать оптимальный фильтр в классе линейных фильтров. Тогда сигнал на входе фильтра с учетом принципа суперпозиции можно представить как
    
    Найдем отношение р мощности полезного сигнала к мощности помехи на выходе фильтра в некоторый момент времени t0.
     где K(j?) - комплексно-частная характеристика фильтра.
    Соответственно в момент времени t0
    
    Мощность помехи на выходе фильтра
    
    В формулах (4) и (6) через Fs,вых(j?) и Fn,вых(?) обозначены спектральная плотность полезного сигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.
    С учетом (5) и (6) выражение для р в момент времени t0 запишется как
    
    Понятно, что чем больше величина р, тем выше помехоустойчивость приема. Поэтому определим фильтр, который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.
    Воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца
    
    справедливым для любых функций А(?) и В(?), для которых интегралы в (8) имеют смысл. Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, если
     где а- постоянная; В* (?) - функция, комплексно-сопряженная с функцией В(?). С учетом (8) можно записать
    и, соответственно,
    
    где Fs*(j?) - комплексно-сопряженный сигнал.
    Таким образом фильтр с комплексно - частотной характеристикой, определяемой формулой (12), является наилучшим в классе линейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшим образцом и в классе нелинейных фильтров.
    Из выражения (12) следует, что коэффициент передачи фильтра зависит от отношения спектральной плотности сигнала к спектральной плотности мощности помехи: коэффициент передачи тем больше, чем больше это отношение. Таким образом, оптимальный фильтр избирательно пропускает те или иные частотные составляющие. Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.
    Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. ............