Реферат
    
    На тему "Движение в центральном симметричном поле"
    Студента I -го курса гр. 107
    Шлыковича Сергея
    Минск 2001
     Немного теории.
    Центральным называют такое силовое поле, в котором потенциальная энергия частицы является функцией только от расстояния r до определенной точки - центра поля: U=U(r). Сила, действующая на частицу в таком поле, тоже зависит лишь от расстояния r и направлена в каждой точке пространства вдоль радиуса, проведенного в эту точку из центра поля.
    Хотя частица, движущаяся в таком поле, и не представляет собой замкнутую систему, тем не менее для нее выполняется закон сохранения момента импульса, если определять момент по отношению к центру поля. Действительно, поскольку направление действующей на частицу силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что L = const.
    (где L - вектор момента импульса, а K момент силы K = [rF]. Уравнение получается из уравнения L = [rp]. Определим производную по времени от момента импульса частицы. Согласно правилу дифференцирования произведения имеем Так как - есть скорость V частицы, а p = mv, то первый член есть m [vv] и равен нулю, поскольку равно нулю векторное произведение любого вектора самого на себя. Во втором члене производная - есть, как мы знаем, действующая на частицу сила F. Таким образом, .)
    Поскольку момент L = m[rv] перпендикулярен направлению радиуса-вектора r, то из постоянства направления L следует, что при движении частицы ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной направлению L. Таким образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам - орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.
    Данное уравнение можно записать в виде: где ds - вектор перемещения материальной точки за время dt. Величина векторного произведешь двух векторов геометрически представляет собой лощадь построенного на них параллелограмма. Площадь же параллелограмма, построенного на векторах ds и r, есть удвоенная площадь бесконечно узкого сектора OAA' , описанного радиусом-вектором движущейся точки за время dt. Обозначив эту площадь через dS, можно записать величину момента в виде Величина называется секториальной скоростью.
    
    Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом материальных точек - так называемая задача двух тел. Если рассмотреть это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю: m1v1+m2v2=0, где v1,v2 - скорости частиц. Введем также относительную скорость частиц v = v1-v2. Из этих двух равенств получаются следующие формулы формулы
     выражающие скорости каждой из частиц через их относительную скорость.
    Подставив эти формулы в выражение полной энергии частиц получим где U(r) - взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r. После простого приведения членов получим , где m обозначает величину называемую приведенной массой частиц.
    Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой m двигалась со скоростью в центральном внешнем поле с потенциальной энергией U(r). ............